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Poligonal: Se refiere al levantamiento topográfico que se realiza con la ayuda de figuras geométricas denominadas polígono. Los polígonos o poligonales se clasifican básicamente en dos tipos: la abierta y la cerrada

Poligonal Cerrada:

Las poligonales cerradas entregan la comprobación de ángulos y de distancias medidas. Las líneas del polígono se inician en un punto conocido, y al momento de cerrar o completar el polígono, éste se hace en el mismo punto del cual se partió . Las líneas del polígono pueden terminar en otro punto (o estación), el  cual debe tener la misma o mayor exactitud con respecto de la posición, esta poligonal es conocida como abierta con control .

Poligonal Abierta:

Las líneas del polígono se inician en un punto (o estación) conocido, pero al momento de culminar el polígono, éste no cierra en una estación conocida, ni de mayor exactitud que la primera

Las poligonales abiertas se usan en los levantamientos para vías terrestres, pero, en general, deben evitarse porque no ofrecen medio alguno de verificación por errores y equivocaciones. En las poligonales abiertas deben repetirse las medidas para prevenir las equivocaciones. A las estaciones se las llama a veces vértices o puntos de ángulo, por medirse generalmente en cada una de ellas un ángulo o cambio de dirección.

Cálculo y Compensación de Poligonales

La  resolución de la poligonal, consiste en el cálculo de las coordenadas rectangulares de las estaciones. En cuanto a las poligonales cerradas y abiertas con control se efectúa lo síguete:

1-      Cálculo y compensación del error de cierre angular.

2-      Cálculo de azimuts o rumbos entre alineaciones (ley de propagación de los azimuts).

3-      Cálculo de las proyecciones de los lados.

4-      Cálculo del error de cierre lineal.

5-      Cálculo de las coordenadas de las estaciones.

Los  pasos 2, 3 y 5 son los únicos que se deben realizar en la poligonal abierta, debido a que es inexistente el control angular y lineal.

 

1-    Cálculo y compensación del error de cierre angular:

Se debe cumplir primeramente que la suma de los ángulos internos:

                      ∑ internos = (n − 2)180º   donde n = número de lados.

           

            Al momento de realizar las correspondientes medidas, éstas están sujetas a errores inevitable s de origen instrumental y operacional, por ende el error está dado por la diferencia entre los valores medido y el valor teórico:

                        Ea =  ∑ medidos -∑ internos    donde Ea= error angular

El  “Ea” debe estar dentro de una tolerancia admisible, ésta tolerancia está dada por:

Poligonales principales:     Ta= a(n)1/2                

Poligonales secundarias:     Ta= a(n)1/2  + a

Donde: Ta= Tolerancia angular.

a = Apreciación del instrumento.

n = número de lados.

Si el “Ea” es menor a “Ta”, se procede a corregir los ángulos, de  forma igualitaria entro cada uno de los ángulos, asumiendo que el error no es dependiente de la magnitud del ángulo medido. La forma de compensar es la siguiente:

       Ca = - Ea/n                   Donde Ca = Compensación angular

Con las poligonales abiertas con control el “Ea” se obtiene por la diferencia entre el azimut final y el azimut final conocido:

       Ea = φfc - φf    donde: φfc=  Azimut final conocido

                                                   φf  =  Azimut final

También se realiza una corrección de azimuts, pero de forma acumulativa, a partir del primer azimut medido, es decir, el primer azimut con Ca, el segundo azimut con 2Ca y así sucesivamente.

 

2-    ''ley de propagación de los azimuts:

 

Los azimuts de una poligonal se pueden calcular en función de un azimut conocido y con los ángulos medidos, usando la ley de propagación de azimuts.

El azimut de φB1 está dado por: φB1= φAB - B; donde B= 180º - α

                                                                Luego φB1 = φAB + α - 180º

Análogamente:

El azimut de φB1 está dado por: φ12 = φB1 + ∆1; donde ∆1= 1 - 180º

                                                    Luego φ12 = φB1 + 1 - 180º

Generalizando el procedimiento, tenemos que:

                         φi = φi-1 + vértice ± 180º

Donde:

              φi= Azimut dado

             φi-1= Azimut anterior

Si:

i-1 + vértice) < 180º. Se le suma 180º

i-1 + vértice) 180º. Se le resta 180º

i-1 + vértice) 540º. Se le resta 540º, debido q que el azimut debe ser menos a 360º

3-    ''Cálculo de las proyecciones de los lados:

El cálculo de las proyecciones se realiza en función de los azimuts:

                        Proyección EW= D·senα

Proyección NS= D·cosα 

           

Donde: D=  Distancia.

                        α=  Azimut.

4-    ''Cálculo del error de cierre lineal:

 

En la poligonal cerrada la suma de las proyecciones de los ejes norte-sur debe ser cero, análogamente la de los ejes este-oeste también debe ser cero. De la figura 6 se puede deducir:

∑proyecciones de N= ∑proyecciones de S

∑proyecciones de E = ∑proyecciones de W

Teniendo en consideración el error asociado:

∑proyecciones de N - ∑proyecciones de S = εNS

∑proyecciones de E - ∑proyecciones de W = εEW

El error lineal se calcula de la siguiente manera:

                  εL=((εNS)2+EW)2)1/2

El error corresponderá a:

                         ε∆N = Σ∆N−S − ∆NBC

                         ε∆E = Σ∆ E−O − ∆EBC

A demás el error lineal está dado por εL, la tolerancia está dada por::

                                               P= εL/ ΣL

Donde:

P  = Precisión de la poligonal.

ΣL = Suma de los lados de la poligonal.

El error relativo “n” se suele expresar así:

n =  1/p

   5-      Cálculo de las coordenadas de las estaciones:

Para obtener las coordenadas de las estaciones de la poligonal, se debe obtener las coordenadas del punto inicial, el cual es la base del futuro cálculo, ejemplificando (N2000, E2000), a estas coordenadas se le suman las proyecciones pertinentes al  punto en cuestión. Este proceso se repite en todos los lados de la poligonal, hasta llegar al punto de partida. Si las coordenadas finales, cuando se regresa al punto de partida, son iguales a las coordenadas iniciales significa que se efectuó correctamente el procedimiento.

Sea A el punto de inicio de la poligonal y B el siguiente punto, la formula quedara:

 Coordenada de B= Coordenada de A + proyección AB

 Coordenada de B= Coordenada de A + proyección AB

Cálculo de Distancias

Para realizar el cálculo de las distancias es necesario el uso de fórmulas matemática, teniendo:

   Dhor = Dinc Cos (α) = Dinc Sen (V)

La distancia buscada está en función  del ángulo vertical y se debe obtener la distancia horizontal.

Se puede concluir:        x= (G/2) · Cos (α)

                                  Dinc = KG’ = K (2x) = KG ·Cos (α)

Con ello:

                                  Dhor = Dinc · Cos (α)

                                  Dhor = (KG Cos (α)) · Cos (α)

                                  Dhor = KG · Cos ²(α)

Análogamente par el ángulo complementario:

                                Dhor = KG · SEN ²(V)

También se debe tener en cuenta la constante del prisma usado, ya que, este influye en la medida final.

Bibliografía:

·         Navarro H, Sergio J. 2008. Manual de Topografía- Poligonales.

·         Chacón, Nadia. Topografía Elemental

·         Casanova M, Leonardo. Procedimientos topográficos, Cap. 5

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